FRONTIER · 落到现实

METR 刚点名矩阵乘法指数「四十年没被 AI 碰过」，三天后它动了——但 AI 只干了最后一步

Improving the matrix multiplication exponent with modern optimization and AlphaEvolve

Emilien Dupont、Renfei Zhou、Josh Alman、Virginia Vassilevska Williams 等 10 人 · Google DeepMind × CMU × Columbia × MIT Virginia Vassilevska Williams 是矩阵乘法复杂度这条线上最主要的推动者之一，2012 年那篇《Multiplying Matrices Faster Than Coppersmith-Winograd》就是她写的，2024、2025 两次刷新纪录也都有她署名；Josh Alman 与 Renfei Zhou 是当前纪录 2.371339 的共同作者；DeepMind 一侧的六人几乎原班出自 AlphaEvolve 论文的作者名单 · 前七位并列一作，按姓氏字母序排 · 项目缘起于 2025 年秋天 Simons Institute「复杂性与线性代数」项目上的讨论

2026 年 8 月

为什么选它第 48 篇里 METR 点了七条「AI 一点没推动」的算法曲线，矩阵乘法指数 ω 是其中之一：2010 年后六次改进总共只挪了 0.0024，每一步都是人写的证明。这篇的日期比那份简报晚三天，把 ω 推到了 2.371177。真正值得看的不是这个数字，是分工——人把四十年的数学重写成可微、可并行、可打分的东西，AI 只在最外层改代码，贡献约四成。

8 月 17 日，arXiv 上挂出一篇只有十页的 note，标题平淡得像内部备忘：《用现代优化方法和 AlphaEvolve 改进矩阵乘法指数》。十位作者，六位来自 Google DeepMind，另外四位分别在 CMU、哥伦比亚大学和 MIT——其中三位正是这个问题当前世界纪录的共同持有者。他们做的事一句话说得完：把矩阵乘法指数 ω 的上界从 2.371339 推到 2.371177。

这个数字小得荒唐，但有两条理由值得读。一是它正好落进第 48 篇留下的那个空里。METR 8 月 14 日那份简报数了七条算法效率曲线，结论是 AI 一点没推动，而 ω 是被点名的例子之一：2010 年之后的六次改进总共只挪了 0.0024，每一步都是人写的证明。三天之后，这条线动了。二是拆开看，AI 在这里干的活比标题听上去小得多，也因此有意思得多。数学框架是人的，把问题改写成机器跑得动的形式是人的，AlphaEvolve 只负责最后一步：改一份已经写好的求解器源码。这个分工，才是这篇真正的信息量所在。

ω 是什么：一个四十年没人推得动的小数点后三位

朴素地乘两个 n×n 矩阵要做 n³ 次乘法。1969 年 Strassen 证明这不是最优的，可以压到 n^2.81——矩阵乘法指数 ω 就是这么来的：两个 n×n 矩阵相乘所需的算术运算次数是 O(n^(ω+o(1)))，而 ω 究竟等于几，至今没人知道，是理论计算机科学最著名的开放问题之一。下界是 2（你至少得把每个数读一遍），上界则被人一点一点往下磨。

1990 年 Coppersmith 和 Winograd 磨到 2.376，之后二十多年基本没动。2012 年 Virginia Vassilevska Williams（本篇作者之一）把它推下去一步，此后是 2023 年的 2.371866、2024 年的 2.371552、2025 年的 2.371339。注意这个节奏：三年三次，每次只挪小数点后第四、第五位。这篇挪到 2.371177，作者自己在讨论一节里写，这次改进的量级「与 1990 年以来的大多数改进相当」——不是谦虚，是这个领域真实的刻度。

还得先说清一件事，免得误会：这条线上的算法全是所谓的 galactic algorithm（星系算法，指渐进复杂度很漂亮、但常数大到只有在天文尺度的输入上才划算的算法）。ω 从 2.371339 降到 2.371177，你手里的 GPU 一秒都不会变快。它的全部意义在另一个问题上：这件事的真实难度到底是多少。

人干了什么：把四十年的数学翻译成可微的

过去四十年的所有改进都建立在同一套技术上，叫 laser method（激光法）——不直接构造快速乘法算法，而是从一个已知张量出发递归分解，间接推出上界。当前最好的界来自它的一个精化版本，叫 combination loss analysis（组合损耗分析）。关键在于：这套方法的最后一步是一个非凸优化问题，任何一个可行解都对应 ω 的一个上界。换句话说，这个数学问题的最后一公里，早已被前人变成了一道优化题——解得越好，界越紧。

上一版纪录用的是 SNOPT 这个序列二次规划求解器，能处理的最大递归层数 ℓ*=3，约 2.5 万个待优化参数。这篇做的第一件事，是把整个问题重写成能做梯度下降的形式：分布的归一化约束用 logits 加 softmax 绕开，最大熵那部分改用最优传输里的 Sinkhorn-Knopp 算法求解并做隐式微分，然后 Jax 加 Adam 直接梯度下降。

真正吃力的是工程。原实现是在一张图上做消息传递，节点类型参差不齐——不同节点的子节点数量和种类都不一样——并行不起来。他们的办法是加带掩码的 phantom node 把结构补齐（代价是参数量最多涨三倍），再把节点聚成有限几类「stage」，最后整张图表示成多维张量，在多达 10 个轴上并行，原文的说法是「挑战张量计算后端的极限」。这样才跑得动 ℓ*=4，参数量从 2.5 万涨到约 700 万。

单靠这一步，界就比 SOTA 好了约 0.97×10⁻⁴。也就是说，这次进步里将近六成，来自人把问题翻译成 GPU 吃得下的形式，AI 还没上场。

AI 干了什么：改代码，不做证明

AlphaEvolve 上场的位置很具体：它不猜解，也不写证明，它改的是上面那份优化程序的源码。程序跑一遍约需单张 GPU 五小时，输出一个 ω 的界；AlphaEvolve 拿这个界当分数，演化代码去压低它。他们还用了 AlphaEvolve 的「演化构造」模式——每一代的优化算法从上一代找到的最优解出发，而不是从头随机初始化。

这一步把总改进从 0.97×10⁻⁴ 抬到约 1.62×10⁻⁴。换算过来，AI 贡献了这次进步的约四成，而且是在人已经把评分函数、可微形式、并行结构全部搭好之后。

这和第 36 篇是同一个模式：Claude 没有碰下黎曼猜想，但把一个具体的、有明确打分标准的记录推了一大截。也和 AlphaEvolve 本身的定位一致——它是个以「你能给我一个可执行的评分函数」为前提工作的东西。前提立不住，它就没有落脚点。

最后一关必须是不可争辩的

这篇有一节值得单拎出来：严格验证。梯度下降吐出来的是浮点数，浮点数不能当证明。他们的做法是把最终解舍入成有理数，同时保证最大熵那部分的证书依然有效，然后用精确有理数算术把所有导出量重算一遍，每一个对数都替换成朝安全方向舍入的有理界，确保每条约束都真的成立。验证代码和找到的解，他们说会一起放出来。

这个动作看着枯燥，却是整件事的承重墙。机器可以随便猜、随便试、随便演化，代价是最后必须有一关不依赖机器的判断——第 36 篇附的那份 Lean 证明是同一个道理。「AI 参与数学」能不能立得住，不取决于它猜得多准，取决于验证这一关有没有被同时做硬。

先给第 48 篇结个账。METR 那份简报没说错，也没过时——它数的是「公开记录里有没有 AI 可归因的贡献」，而这篇正是 ω 这条线上的第一笔。但这笔账该怎么记，恰恰是那种曲线接不住的：AI 贡献了这次改进量的约四成，而这四成成立的前提是人先做完了六成。塞进「斜率有没有变」的图里，这个结构就全丢了。再说我在第 48 篇里下的那个赌。我当时的判断是：AI 眼下提供的是廉价并行劳动力，这种东西能把「很多个浅目标」乘上去，却推不动一条被最聪明的人磨了几十年的深前沿。这篇是个反例，但它反的方式很有意思——深前沿确实被推了一格，靠的不是 AI 想出新数学，而是人把旧数学重新写成一个可微、可并行、可打分的东西。真正的瓶颈从来不是搜索能力，是「把问题变成可搜索的」。这个动作，目前还只有人会做。所以这篇最该被记住的一句话是作者自己写的：更大的改进「很可能需要新的数学思想」。这不是客套。他们已经把现有框架下的搜索做到近乎见底——ℓ* 从 3 抬到 4、参数从 2.5 万涨到 700 万、上 GPU 并行、再加一个会改代码的 AI——换来的是小数点后第四位上的 0.000162。框架本身的天花板，AI 顶不破。顺手能得到一条挺实用的判断标准。想知道 AI 会不会在你这个领域加速，别问模型有多强，问你的问题能不能被写成一个五小时跑得完、输出一个可比较分数的程序。能，AlphaEvolve 这类东西立刻有用；不能，模型再强也没有着力点。这比流行的「可廉价验证的领域进步最快」要锋利一点：可验证只是必要条件，可打分、可微、可并行才是它真正咬得住的地方——这也顺便解释了第 48 篇里那个反直觉的发现，为什么验证成本极低的算法优化反而一动没动。最后，这个团队的构成本身就是条信息。三位纪录保持者加六位 AlphaEvolve 作者，起点是 2025 年秋天 Simons Institute 一个项目上的对话。它不是「AI 自己做出了发现」，是领域专家和工具组的一次合作，而且专家那边出的力更大。眼下关于「AI 做科学」最容易失真的地方，就是把这类合作压缩成前半句。

矩阵乘法AlphaEvolveAI 做科学算法前沿计算机辅助证明

去读原文 本文是原创导读，不是原文翻译——真正的细节、证据和微妙之处都在原文里。原文arXiv · Improving the matrix multiplication exponent with modern optimization and AlphaEvolve → 原文背景 · AlphaEvolve: a coding agent for scientific and algorithmic discovery →

上一篇25 万条真实对话第一次交到外人手里——但这篇最该读的，是附录里那份「这些数字不能这么用」下一篇28 位安全研究员想了八小时，Claude 六小时越过了他们——但这套办法只在「有标尺」的地方管用

本文为 AKL AI Club 原创撰写的导读，不是原文翻译；著作权归原文作者所有。篇目由编辑独立选取，来源均经人工核实。